Étude d'une suite convergente vers ln(a)

Le second algorithme – qui porte parfois lui aussi le nom de Briggs – permet d’approcher le logarithme népérien d’un réel strictement positif.

Soit  \(a\) un réel strictement positif. Pour approcher \(\ln(a)\) , on utilise la suite  \((u_n)\) définie par  \(u_0=a\) et, pour tout entier naturel \(n\) , \(u_{n+1}=\sqrt{u_n}\) . 
On a alors  \(\displaystyle\lim_{n\to + \infty}2^n\times (u_n−1)=\ln(a)\) .
L'exercice ci-dessous propose une démonstration de ce résultat.

Exercice

Soit \(a>0\) . On considère la suite \((u_n)\)  définie par \(u_0=a\)  et, pour tout entier naturel \(n\) ,  \(u_{n+1}=\sqrt{u_n}\) .

1. Pour tout entier naturel \(n\) , on pose  \(w_n=\ln(u_n)\) .
    a. Montrer que la suite  \((w_n)\) est géométrique et exprimer \(w_n\)  en fonction de  \(n\) pour tout entier naturel \(n\) .
    b. Exprimer  \(u_n\) en fonction de  \(n\) pour tout entier naturel  \(n\) .
    c. En déduire \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\) .
2. On rappelle qu’une fonction  \(f\) est dérivable en  \(a\) si le quotient \(\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\)  admet une limite finie quand  \(x\) tend vers \(a\) .
    a. Que vaut \(\ln^{\prime}(1)\)  ?
    b. En déduire la valeur de \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\ln(x)}{x-1}\) .
    c. En déduire la valeur de \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}2^n(u_n-1)\) . Indication : multiplier et diviser cette quantité par \(\ln(u_n)\) .